Base 6
Patterns that can be factored: \[[1^*01^*_6]_n={6\cdot6^{2n}-5\cdot6^{n}-1\over5}=\left(6^{n}-1\right)\left(6\cdot6^{n}+1\right)/5=\left(5\cdot[1^*_6]_n\right)\left([10^*1_6]_n\right)/5\] \[[1^*21^*_6]_n={6\cdot6^{2n}+5\cdot6^{n}-1\over5}=\left(6^{n}+1\right)\left(6\cdot6^{n}-1\right)/5=\left([10^*1_6]_{n-1}\right)\left(5\cdot[1^*_6]_{n+1}\right)/5\] \[[2^*02^*_6]_n=2\cdot{6\cdot6^{2n}-5\cdot6^{n}-1\over5}=2\cdot\left(6^{n}-1\right)\left(6\cdot6^{n}+1\right)/5=2\cdot\left(5\cdot[1^*_6]_n\right)\left([10^*1_6]_n\right)/5\] \[[2^*42^*_6]_n=2\cdot{6\cdot6^{2n}+5\cdot6^{n}-1\over5}=2\cdot\left(6^{n}+1\right)\left(6\cdot6^{n}-1\right)/5=2\cdot\left([10^*1_6]_{n-1}\right)\left(5\cdot[1^*_6]_{n+1}\right)/5\] \[[2^*12^*_6]_n={12\cdot6^{2n}-5\cdot6^{n}-2\over5}=\left(3\cdot6^{n}-2\right)\left(4\cdot6^{n}+1\right)/5=\left([5^*2_6]_n/2\right)\left(5\cdot[4^*5_6]_{n-1}\right)/5\] \[[2^*32^*_6]_n={12\cdot6^{2n}+5\cdot6^{n}-2\over5}=\left(3\cdot6^{n}+2\right)\left(4\cdot6^{n}-1\right)/5=\left(10\cdot[14^*5_6]_{n-2}\right)\left([35^*_6]_n\right)/5\] \[[3^*03^*_6]_n=3\cdot{6\cdot6^{2n}-5\cdot6^{n}-1\over5}=3\cdot\left(6^{n}-1\right)\left(6\cdot6^{n}+1\right)/5=3\cdot\left(5\cdot[1^*_6]_n\right)\left([10^*1_6]_n\right)/5\] \[[4^*04^*_6]_n=4\cdot{6\cdot6^{2n}-5\cdot6^{n}-1\over5}=4\cdot\left(6^{n}-1\right)\left(6\cdot6^{n}+1\right)/5=4\cdot\left(5\cdot[1^*_6]_n\right)\left([10^*1_6]_n\right)/5\] \[[4^*24^*_6]_n=2\cdot{12\cdot6^{2n}-5\cdot6^{n}-2\over5}=2\cdot\left(3\cdot6^{n}-2\right)\left(4\cdot6^{n}+1\right)/5=2\cdot\left([5^*2_6]_n/2\right)\left(5\cdot[4^*5_6]_{n-1}\right)/5\] \[[5^*05^*_6]_n=6\cdot6^{2n}-5\cdot6^{n}-1=\left(6^{n}-1\right)\left(6\cdot6^{n}+1\right)=\left(5\cdot[1^*_6]_n\right)\left([10^*1_6]_n\right)\] \[[5^*45^*_6]_n=6\cdot6^{2n}-6^{n}-1=\left(2\cdot6^{n}-1\right)\left(3\cdot6^{n}+1\right)=\left([15^*_6]_n\right)\left([30^*1_6]_{n-1}\right)\]